Bezák sa narodil 1. marca 1960 v Handlovej. O povolaní kňaza uvažoval už
na základnej škole. Po maturite na gymnáziu v Prievidzi (1979) študoval
na Teologickej fakulte v Bratislave. Počas vysokoškolských štúdií tajne
prijal rehoľnú formáciu v Kongregácii Najsvätejšieho Vykupiteľa –
redemptoristov, v roku 1983 tam zložil aj večné rehoľné sľuby.
V júni 1984 ho v Banskej Bystrici vysvätili za kňaza. Najskôr bol
kaplánom v Brezne (1984 - 1985), potom nasledovala dvojročná základná
vojenská služba na vojenskom letisku pri Příbrame v stredných Čechách.
V roku 1988 bol postupne kaplánom v Detve, Žiari nad Hronom a farským
administrátorom v Sklených Tepliciach, Tužine (1989) a Uľanke (1990).
V rokoch 1990 - 1993 Bezák postgraduálne študoval morálnu teológiu na
Akadémii Alfonsiana v Ríme. Po troch rokoch bol zvolený za
viceprovinciála rímskokatolíckej viceprovincie redemptoristov na
Slovensku (do roku 2005). V rokoch 1996 - 2003 bol predsedom Konferencie
vyšších rehoľných predstavených na Slovensku. Vyučoval morálnu teológiu
na Teologickom inštitúte v Badíne a na Teologickej fakulte Trnavskej
univerzity (1993 - 2005). V rokoch 2005 - 2008 bol farským
administrátorom v Starých Horách, v roku 2008 v Radvani, zároveň bol
vikárom viceprovinciála rímskokatolíckej viceprovincie redemptoristov
v Bratislave.
Dnes už emeritný pápež Benedikt XVI. vymenoval Bezáka 18. apríla 2009 za
arcibiskupa Trnavskej arcidiecézy. Vo funkcii Bezák nahradil Jána
Sokola, ktorý odišiel do dôchodku. Jeho biskupská vysviacka bola 6. júna
2009 v Trnave, viedol ju kardinál Jozef Tomko spolu s arcibiskupom
bratislavskej arcidiecézy Stanislavom Zvolenským a apoštolským nunciom
Mariom Giordanom.
Medzi prvými krokmi, ktoré Bezák na novom poste urobil, bol finančný
audit. Upozorňoval Vatikán na problémy hospodárenia v diecéze, žiadal
o kontrolu. Polícia viedla trestné stíhanie vo veci podozrenia
z trestného činu skresľovania údajov hospodárskej a obchodnej evidencie
z čias jeho predchodcu Sokola.
Počas svojho pôsobenia v Trnave otvoril Bezák pre verejnosť
v priestoroch arcibiskupstva reštauráciu Galéria. Takisto chcel
sprístupniť aj arcibiskupskú záhradu. Na prelome januára a februára 2012
bola v Trnavskej arcidiecéze vykonaná apoštolská vizitácia. Na jej
základe 9. júla 2012 požiadal pápež Benedikt XVI. arcibiskupa Bezáka
o demisiu. Tú Bezák odmietol, a tak s platnosťou k 2. júlu 2012 ho pápež
odvolal z úradu trnavského arcibiskupa.
Po svojom odvolaní dostal Bezák od slovenskej kongregácie redemptoristov
ponuku pôsobiť v jednej z jej komunít na Slovensku. Na rok bol 1.
augusta 2012 vymenovaný za výpomocného duchovného v Radvani. V auguste
2013 sa stal emeritným arcibiskupom na odpočinku patriacim pod Trnavskú
arcidiecézu. Konferencia biskupov Slovenska (KBS) mu ponúkla dôchodok,
ktorý však odmietol. Od decembra 2013 pôsobil rok v kláštore
redemptoristov v talianskom Bussolengu.
Bezák sa v júni 2014 po generálnej audiencii krátko stretol s pápežom
Františkom, odovzdal mu list, v ktorom ho žiadal o osobnú audienciu.
Prezident SR Andrej Kiska mal 14. decembra 2018 audienciu u pápeža
Františka vo Vatikáne. Svätý Otec stretnutie so slovenským prezidentom
využil aj na to, aby poslal Bezákovi dar.
Meno emeritného arcibiskupa Róberta Bezáka sa objavilo aj na osobnom
zozname hostí prezidentky SR Zuzany Čaputovej pri jej inaugurácii, ktorá
sa konala 15. júna 2019.